Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: Máy phát sóng có tâm $I(1; 2; 4)$ và có bán kính phủ sóng $5km$

$\Rightarrow$ Vùng phủ sóng là vùng nằm bên trong mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 25$

Ta có: $(6 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 45 > 25$

$(-2 - 1)^2 + (-4 - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 61 > 25$

$\Rightarrow A$ và $B$ đều nằm ngoài vùng phủ sóng

$\Rightarrow$ Quãng đường mà vật di chuyển trong vùng phủ sóng là khoảng cách giữa $2$ giao điểm của đường thẳng $AB$ với $(S)$

Ta có: $AB \begin {cases} \text{đi qua }A(6; 4; 0) \\ \text{vector chỉ phương }\overrightarrow{AB} = (-8; -8; 0) \end {cases}$

$\Rightarrow AB: \begin {cases} x = 6 - 8t \\ y = 4 - 8t \\ z = 0 \end {cases}$

Thay $x =6 - 8t, y = 4 - 8t, z = 0$ vào $(S)$, ta có:

$(6 - 8t - 1)^2 + (4 - 8t - 2)^2 + (0 - 4)^2 = 25$

$\Leftrightarrow (5 - 8t)^2 + (2 - 8t)^2 + 16 = 25$

$\Leftrightarrow 128t^2 - 112t + 29 = 9$

$\Leftrightarrow 128t^2 - 112t + 20 = 0$

$\Leftrightarrow 32t^2 - 28t + 5 = 0$

$\Leftrightarrow (4t - 1)(8t - 5) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}t=\dfrac{1}{4}\\t=\dfrac{5}{8}\end{array} \right.\) 

Gọi $I_1, I_2$ lần lượt là giao của $AB$ với mặt cầu $(S)$ tương ứng với $t =\dfrac{1}{4}$ và $t = \dfrac{5}{8}$

$\Rightarrow I_1 (4; 2; 0)$ và $I_2 (1; -1; 0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{I_1I_2} = (-3; -3; 0)$

$\Rightarrow I_1I_2 = 3\sqrt{2} \approx 4,24(km)$

Vậy quãng đường mà vật di chuyển trong vùng phủ sóng khoảng $4,24km$