Giải thích các bước giải:

a.Vì $M$ là trung điểm $BC$

$\to OM\perp BC$

$\to \widehat{NMO}=\widehat{NAO}=90^o$

$\to NAOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $ON$

b.Vì $A, O, K$ thẳng hàng

$\to AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACK}=90^o=\widehat{AHB}$

Mà $\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}$

$\to \Delta AKC\sim\Delta ABH(g.g)$

$\to \dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AC}{AH}$

$\to AK.AH=AB.AC$

c.Ta có: $OM\perp BC$

$\to OM$ là phân giác $\widehat{BOC}$

$\to \widehat{MOB}=\widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{BAC}=30^o$

$\to \cos\widehat{MOB}=\dfrac{OM}{OB}\to OM=OB\cos\widehat{BOM}=\dfrac12R$

$\to BM=\sqrt{BO^2-OM^2}=\dfrac{R\sqrt3}2$

$\to BC=2BM=R\sqrt3$

Ta có:

$\widehat{FOK}=2\widehat{FAK}=60^o$

$\to \Delta OFK$ đều

$\to KF=OK=R$

Vì $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{AFK}=90^o$

$\to AF\perp FK$

$\to FK//BC(\perp AF)$

$\to \widehat{FBC}=180^o-\widehat{BFK}=\widehat{BCK}$

$\to BCKF$ là hình thang cân

$\to HF=d(O, FK)-OM=\dfrac{R\sqrt3}2-\dfrac12R=\dfrac{R(\sqrt3-1)}2$

$\to S_{BCKF}=\dfrac12\cdot (BC+FK)\cdot HF=\dfrac12\cdot (R\sqrt3+R)\cdot \dfrac{R(\sqrt3-1)}2=\dfrac12R^2$