Giải giúp em câu 14 ạ

     Trong $\triangle ABC$ vuông tại C: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(7a)^2 - (5a)^2} = \sqrt{49a^2 - 25a^2} = \sqrt{24a^2} = 2a\sqrt{6}$.

    Trong $\triangle SAC$ vuông tại A: $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (5a)^2} = \sqrt{9a^2 + 25a^2} = \sqrt{34a^2} = a\sqrt{34}$.

    Ta có $SA \perp BC$ (vì $SA \perp (ABC)$) và $AC \perp BC$ (vì $\triangle ABC$ vuông tại C). Suy ra $BC \perp (SAC)$.

    Vì $BC \perp (SAC)$ nên $BC \perp SC$. Do đó $\triangle SBC$ vuông tại C.

a) 

 Vì $BC \perp (SAC)$ tại C nên hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (SAC) là điểm C.

 Vậy mệnh đề (a) là Sai.

b) 

     Ta có $BC \perp SC$ (cmt) và $BC \perp CD$ (giả sử đáy là hình chữ nhật). Suy ra $BC \perp (SCD)$.

       Khi đó, hình chiếu của B lên (SCD) là C. Hình chiếu của S lên (SCD) là S.

     Vậy hình chiếu của SB lên (SCD) là SC.

  giả sử đáy là hình chữ nhật ABCD, mệnh đề (b) là Đúng. (Nếu chỉ xét S.ABC thì mệnh đề không hợp lệ).

c) 

 Hình chiếu của S lên (ABC) là A. Hình chiếu của M lên (ABC) là M.

   Hình chiếu của SM lên (ABC) là AM.

 Góc giữa SM và (ABC) là góc $\widehat{SMA}$.

M là trung điểm BC nên $CM = \frac{BC}{2} = a\sqrt{6}$.

 Trong $\triangle ACM$ áp dụng định lý cosin hoặc công thức đường trung tuyến trong $\triangle ABC$:

    $AM^2 = \frac{AC^2 + AB^2}{2} - \frac{BC^2}{4} = \frac{(5a)^2 + (7a)^2}{2} - \frac{(2a\sqrt{6})^2}{4} = \frac{25a^2 + 49a^2}{2} - \frac{24a^2}{4} = 37a^2 - 6a^2 = 31a^2$.

    $AM = a\sqrt{31}$.

 Trong $\triangle SAM$ vuông tại A:

    $\tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{3a}{a\sqrt{31}} = \frac{3}{\sqrt{31}}$.

    $\widehat{SMA} = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{31}}\right) \approx 28.316^\circ$.

 Giá trị này xấp xỉ $28,32^\circ$.

 Vậy mệnh đề (c) là Đúng.

d) 

 Vì $BC \perp (SAC)$ nên $(SBC) \perp (SAC)$ theo giao tuyến SC.

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ $AK \perp SC$ tại K.

 Vì $(SBC) \perp (SAC)$ và $AK \subset (SAC)$, $AK \perp SC$, nên $AK \perp (SBC)$.

   Khoảng cách từ A đến (SBC) là $d(A, (SBC)) = AK$.

 Trong $\triangle SAC$ vuông tại A, AK là đường cao:

    $\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{(3a)^2} + \frac{1}{(5a)^2} = \frac{1}{9a^2} + \frac{1}{25a^2} = \frac{25 + 9}{225a^2} = \frac{34}{225a^2}$.

    $AK^2 = \frac{225a^2}{34}$.

    $AK = \sqrt{\frac{225a^2}{34}} = \frac{15a}{\sqrt{34}}$.

 `->`giả sử $a=1$ thì đúng. 

 Vậy mệnh đề (d) là Đúng (với quy ước $a=1$).