Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Ta có:

$\widehat{OID}=\widehat{OBD}=90^o\to OIBD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

$\widehat{OIF}=\widehat{OCF}=90^o\to OIFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OF$

$\to \widehat{IDO}=\widehat{IBO}=\widehat{OBC}=\widehat{BCO}$

Mà $\widehat{BCO}=\widehat{OCI}=\widehat{OFI}=\widehat{OFD}$

$\to \widehat{ODF}=\widehat{OFD}$

$\to \Delta DOF$ cân tại $O$

c.Gọi $G$ là trung điểm $AE$

$\to GI$ là đường trung bình $\Delta AEB$

$\to GI//AB$

$\to \widehat{IGE}=\widehat{BAE}=\widehat{BAO}=\widehat{BCO}=\widehat{ICO}$

$\to IGCO$ nội tiếp

Mà $IFCO$ nội tiếp

$\to I,G, F, C, O$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{FGO}=\widehat{FIO}=90^o$

$\to FG\perp AO$

$\to FG//CE(\perp AO)$

Do $G$ là trung điểm $AE$

$\to F$ là trung điểm $AC$