phương trình chính tắc của parabol (P)

    $2^2 = 2p \cdot 2$

    $4 = 4p$

    $p = 1$

Vậy, phương trình chính tắc của parabol (P) là: $y^2 = 2x$.

 diện tích tam giác đều nội tiếp (P)

Gọi tam giác đều nội tiếp parabol là OBC, với O(0,0) là đỉnh của parabol, B và C là hai điểm trên parabol đối xứng qua trục Ox.

 Giả sử B có tọa độ $(x_0, y_0)$ với $y_0 > 0$. Do B thuộc (P) nên $y_0^2 = 2px_0$.

Do đối xứng qua Ox, điểm C có tọa độ $(x_0, -y_0)$.

 Độ dài các cạnh của tam giác OBC:

    $OB^2 = OC^2 = x_0^2 + y_0^2$

       $BC^2 = (x_0 - x_0)^2 + (y_0 - (-y_0))^2 = (2y_0)^2 = 4y_0^2$

Vì tam giác OBC đều nên $OB^2 = BC^2$:

    $x_0^2 + y_0^2 = 4y_0^2$

    $x_0^2 = 3y_0^2$

Thay $y_0^2 = 2px_0$ vào 

    $x_0^2 = 3(2px_0)$

    $x_0^2 = 6px_0$

    Do $x_0 \neq 0$ (vì B không trùng O), suy ra $x_0 = 6p$.

 Từ đó, $y_0^2 = 2p(6p) = 12p^2$.

 Độ dài cạnh $BC = 2y_0 = 2\sqrt{12p^2} = 2 \cdot 2p\sqrt{3} = 4p\sqrt{3}$.

Diện tích tam giác đều OBC với cạnh $a = BC$ là:

    $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4p\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16p^2 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48p^2 \sqrt{3}}{4} = 12p^2\sqrt{3}$.

 Với $p=1$ đã tìm được ở trên, diện tích tam giác đều nội tiếp là:

    $S = 12(1)^2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.