Cho AABC nhọn có AB < AC. Vẽ đường tròn tâm

O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại

D và E . Gọi H là giao điểm CD và BE; AH cắt BC tại I.

a) Chứng minh AI vuông góc với BC

b) Vẽ AM, AN tiếp xúc (O) tại M và N. Chứng minh

IA là tia phân giác góc MIN

c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $BC$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$
$\to BE\perp AC, CD\perp AB$

Mà $BE\cap CD=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

$\to AI\perp BC$

c.Ta có: $AM, AN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o=\widehat{AIO}$

$\to A, M, I, O, N\in$ đường tròn đường kính $AO$

mà $AM=AN$

$\to\widehat{AIM}=\widehat{AIN}$

$\to IA$ là phân giác $\widehat{MIN}$

c.Xét $\Delta AMD,\Delta AMB$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AMD}=\widehat{MBD}=\widehat{ABM}$

$\to \Delta AMD\sim\Delta ABM(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AD}{AM}$

$\to AM^2=AB.AD$

Xét $\Delta ADH,\Delta AIB$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ADH}=\widehat{AIB}(=90^o)$

$\to \Delta ADH\sim\Delta AIB(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AI}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AD.AB=AH.AI$

$\to AM^2=AH.AI$

$\to \dfrac{AM}{HA}=\dfrac{AI}{AM}$

$\to \Delta AMH\sim\Delta AIM(c.g.c)$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{AMI}$

Tương tự: $\widehat{AHN}=\widehat{ANI}$

Vì $AMION$ nội tiếp
$\to \widehat{AMI}+\widehat{ANI}=180^o$

$\to \widehat{AHM}+\widehat{AHN}=180^o$

$\to \widehat{MHN}=180^o$

$\to M, H, N$ thẳng hàng