Đáp án: $135$

Giải thích các bước giải:

Dựa vào tỉ lệ sản lượng, xác suất để loại dâu tây được chọn thuộc từng giống là:
$P(\text{dâu Nhật Bản})=P(T_{nb})=15\%=0.15$

$P(\text{dâu Mỹ đá}) = P(T_{md})=30\%=0.3$

$P(\text{dâu New Zealand})=P(T_{nz})=55\%=0.55$

Mỗi học sinh có xác suất đoán đúng là $60\%(=0.6)$. Xác suất đoán sai là $40\%(=0.4)$
Nếu đoán sai, học sinh có thể kết luận một trong hai giống dâu còn lại. Giả sử xác suất kết luận sai sang mỗi loại còn lại là bằng nhau $0.4:2=0.2$

+ Nếu giống dâu được chọn là Mỹ đá: 

$P(MD|T_{MD})=0.6$

$P(NB|T_{MD})=0.2$

$P(NZ|T_{MD})=0.2$

+ Nếu giống dâu được chọn là Nhật Bản

$P(MD|T_{NB})=0.2$

$P(NB|T_{NB})=0.6$

$P(NZ|T_{NB})=0.2$

+ Nếu giống dâu được chọn là New Zealand

$P(MD|T_{NZ})=0.2$

$P(NB|T_{NZ})=0.2$

$P(NZ|T_{NZ})=0.6$

Sự kiện quan sát được (E) là kết quả kết luận của 13 học sinh: 7 bạn kết luận Mỹ đá, 4 bạn kết luận Nhật Bản, 2 bạn kết luận New Zealand.
Ta có:

$P(E|T_{MD})=0.6^7\cdot 0.2^4\cdot 0.2^2=0.6^7\cdot 0.2^6$

$P(E|T_{NB})=0.2^7\cdot 0.6^4\cdot 0.2^2=0.2^9\cdot 0.6^4$

$P(E|T_{NZ})=0.2^7\cdot 0.2^4\cdot 0.6^2=0.2^{11}\cdot 0.6^2$

Ta có:

$P(T_{NZ}|E)=\dfrac{P(E|T_{NZ})\cdot P(T_{NZ})}{P(E)}$

$P(E)=P(E|T_{MD}) P(T_{MD})+P(E|T_{NB})P(T_{NB})+P(E|T_{NZ})P(T_{NZ})=0.6^7\cdot 0.2^6\cdot 0.3+0.2^9\cdot 0.6^4\cdot 0.15+0.2^{11}\cdot 0.6^2\cdot 0.55=\dfrac{2\cdot 3^8+3^5+99}{20\cdot 5^{13}}$

$P(T_{NZ}|E)=\dfrac{P(E|T_{NZ})\cdot P(T_{NZ})}{P(E)}=\dfrac{99}{2\cdot 3^8+3^5+99}=\dfrac{99}{13464}=\dfrac{1}{136}$

$\to a=1, b=136$

$\to b-a^4=135$