2. Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cùng đi qua trực tâm H. Gọi K là trung điểm của AH. Đường thẳng đi qua điểm K và vuông góc với BK, cắt AC tại điểm N.

a) Chứng minh tứ giác BKEN là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính BS của đường tròn (O). Chứng minh hat ABE = hat SBC .

c) Chứng minh BK .BC=BN.BE và ON song song với BC.

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Vì K là trung điểm AH nên BK là đường trung tuyến của tam giác ABH. Theo giả thiết, KN vuông góc với BK tại K. Vậy, BK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác BKN, suy ra tam giác BKN cân tại B. Do đó, góc BKN = góc BNK.

Mặt khác, BE là đường cao nên góc AEB = 90 độ.

Xét tứ giác BKEN, ta có: góc BKN + góc BEN = góc BNK + góc AEB = góc BNK + 90 độ.

Ta cần chứng minh góc BNK = góc AEK để suy ra góc BKN + góc BEN = 180 độ và do đó BKEN là tứ giác nội tiếp.

Vì AD, BE, CF là các đường cao nên H là trực tâm của tam giác ABC. Góc AEH = góc AFH = 90 độ, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.

Do đó, góc FAE = góc FHE (cùng chắn cung FE). Mà góc FAE = góc BAC.

Ta có góc ABE = 90 độ - góc BAC = 90 độ - góc FAE.

Và góc AEK = góc BEK = 90 độ - góc EBK. Vì tam giác BKN cân tại B nên góc EBK = góc BNK.

Suy ra góc ABE = 90 độ - góc EBK = góc AEK = góc BEK.

Vậy góc BNK = góc AEK, suy ra góc BKN + góc BEN = 180 độ. Do đó tứ giác BKEN nội tiếp.

b) Vì BS là đường kính của đường tròn (O) nên góc BCS = 90 độ.

Do đó, góc SBC = 90 độ - góc BSC.

Vì góc ABE = 90 độ - góc BAC.

Mà góc BSC = góc BAC (cùng chắn cung BC).

Suy ra góc SBC = 90 độ - góc BAC = góc ABE.

Vậy góc ABE = góc SBC.

c) Vì tứ giác BKEN nội tiếp (chứng minh ở câu a) nên góc BKN = góc BEN.

Xét tam giác BKN và tam giác BEN có:

• Góc B chung.
• Góc BKN = góc BEN (chứng minh trên).

Suy ra tam giác BKN đồng dạng với tam giác BEN (g.g).

Do đó, BK/BE = BN/BC hay BK.BC = BN.BE.

Gọi M là trung điểm BC. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OM vuông góc với BC.

Ta có: BK.BC = BN.BE. Suy ra BK/BN = BE/BC.

Xét tam giác BKE và tam giác BNC có:

• Góc B chung.
• BK/BN = BE/BC (chứng minh trên).

Suy ra tam giác BKE đồng dạng với tam giác BNC (c.g.c).

Do đó, góc BEK = góc BCN.

Mà góc BEK = góc BKN (vì BKEN là tứ giác nội tiếp).

Suy ra góc BKN = góc BCN.

Gọi I là giao điểm của ON và BC. Ta cần chứng minh góc NIO = 0 độ để suy ra ON song song với BC. Điều này tương đương với việc chứng minh góc OIN = 180 độ.

Ta có: góc OIN = góc NIO + góc ION

Xét tam giác ONC. Tam giác ONC cân tại O (ON = OC = R). Do đó, góc ONC = góc OCN.
Vì vậy, góc NIO + góc OCN = ...

Chứng minh phần ON song song với BC là một bài toán khó và cần thêm các kiến thức về góc và các đường phụ khác. Cách tiếp cận như trên có thể không dẫn đến kết quả một cách trực tiếp.