Giải thích các bước giải:

$a)$ Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^\circ , \widehat{ABH}$: góc chung

Suy ra $\Delta ABC \backsim \Delta HBA \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{HB}{HA}$

$\Rightarrow AB. AH = AC . HB$

$b)$ Ta lại có: $\widehat{AHC}=\widehat{AHB}=90^\circ , \widehat{BAH} = \widehat{ACH}$cùng phụ góc $\widehat{HAC}$

Nên $\Delta HAB \backsim \Delta HCA \Rightarrow \dfrac{HA}{HB}=\dfrac{HC}{HA} \Rightarrow AH^2=HB.HC$

$c)$ Theo hệ thức lượng ta có $AC^2 = CH.CB$

Do $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN = \dfrac12 AC \Rightarrow AC^2 = 4MN^2$

$\Rightarrow 4MN^2 = CH.CB$

$\Rightarrow MN^2 = \dfrac14 CH.CB$