`a)` 

Có `HM=MP` và `HD=DI`

`=>`$DM//IP$

mà `D,M inBC=>`$BC//IP$

`=>BIPC` là hình thang

Lại có `BM=MC` và `HN=MP`

`=>BPCH` là hình bình hành

`=>CP=BH`

mà `DeltaBDI=DeltaBDH(c.g.c)`

`=>BH=BI`

`=>CP=BI`

Do đó `HIPC` là hình thang cân.

`b)`

Có `BPCH` là hình bình hành nên `CP`$//$`BH`

mà `BHbotAC=>CP botAC`

`OP=OC=>OA=OP=OC`

mà `HM=MP`

`=>`$OM//AH$ và `OM=1/2AH`

`=>DeltaOMG`$\backsim$`DeltaHAG`

`=>(MG)/(GA)=(OM)/(AH)=1/2`

`=>3/2=(MG)/(GA)+1=(AM)/(AG)`

`=>(AG)/(AM)=2/3`

mà `AM` là trung tuyến của `DeltaABC`

`=>G` là trọng tâm

`BN` cũng là trung tuyến của `DeltaABC`

`=>B,G,N` thẳng hàng

`c)`

Ta có:

`DeltaAFH`$\backsim$`DeltaCDH(g.g)`

`=>(AH)/(CH)=(FH)/(DH)=>(AH)/(FH)=(CH)/(DH)`

`=>DeltaAHC`$\backsim$`DeltaFHD(c.g.c)`

`=>hat(DFH)=hat(CAH)`

Lại có `DeltaBHF`$\backsim$`DeltaCHE(g.g)`

`=>(BH)/(CH)=(FH)/(EH)=>(BH)/(FH)=(CH)/(EH)`

`=>DeltaBHC`$\backsim$`DeltaFHE(c.g.c)`

`=>hat(EFH)=hat(CBH)`

mà `hat(CAH)=hat(CBH)(`cùng phụ `hat(ACB))`

`=>hat(EFH)=hat(DFH)`

`=>FH` là phân giác trong của `hat(EFD)`

mà `FAbotFH` nên `FA` là phân giác ngoài của `hat(EFD)`

`=>(HQ)/(HD)=(AQ)/(AD)`

`=>HQ.AD=HD.AQ(1)`

Xét `DeltaCDH;DeltaADB` có:

`hat(CDH)=hat(ADB)=90^o`

`hat(CHD)=hat(AHF)=hat(ABD)`

`=>DeltaCDH`$\backsim$`DeltaADB(g.g)`

`=>(CD)/(AD)=(HD)/(BD)`

`=>AD.HD=CD.BD(2)`

Từ `(1)` và `(2)=>DB.DC.HD.AQ=HQ.AD.AD.HD`

`=>DB.DC.AQ=AD^2 .HQ`