Giải thích các bước giải:

1.Khi $x=9$

$\to N=\dfrac{24}{\sqrt9+6} =\dfrac{24}9=\dfrac83$

2.Ta có:

$M=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}+\dfrac1{\sqrt{x}-6}+\dfrac{17\sqrt{x}+30}{x-36}$

$\to M=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)+(\sqrt{x}+6)+17\sqrt{x}+30}{(\sqrt{x}+6)(\sqrt{x}-6)}$

$\to M=\dfrac{x+12\sqrt{x}+36 }{(\sqrt{x}+6)(\sqrt{x}-6)}$

$\to M=\dfrac{ (\sqrt{x}+6)^2}{(\sqrt{x}+6)(\sqrt{x}-6)}$

$\to M=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-6}$

3.Ta có:

$L=MN$

$\to L=\dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-6}\cdot \dfrac{24}{\sqrt{x}+6}$

$\to L=\dfrac{24}{\sqrt{x}-6}$

Để $L$ có giá trị nguyên lớn nhất

$\to \sqrt{x}-6$ là số nguyên dương nhỏ nhất 

$\to \sqrt{x}-6=1$

$\to \sqrt{x}=7$
$\to x=49$