Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta  AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{HAB}=90^o-\widehat{HAC}=\hat C$

$\to \Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

a.Vì $AM$ là phân giác $\widehat{HAC}$

$\to \widehat{MAH}=\widehat{MAC}$

Mà $\widehat{HAB}=\hat C$

$\to \widehat{HAB}+\widehat{HAM}=\widehat{C}+\widehat{MAC}$

$\to \widehat{MAB}=180^o-\widehat{AMB}$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{BMA}$

$\to \Delta ABM$ cân tại $B$

Do $BP$ là phân giác $\hat B$

$\to BP\perp AM$

b.Từ a $\to BA=BM$

$\to \Delta ABQ=\Delta MBQ(c.g.c)$

$\to \widehat{BMQ}=\widehat{BAQ}=90^o$

$\to MQ\perp BC$

$\to MQ//AH(\perp BC)$

c.Vì $\widehat{AQN}=\widehat{AQB}=90^o-\widehat{ABQ}=90^o-\widehat{NBH}=\widehat{BNH}=\widehat{ANQ}$

$\to \Delta ANQ$ cân tại $A$

$\to AN=AQ$

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta HBA\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$

Vì $BQ$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{NH}{NA}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to NH.BC=AB.AN$

$\to NH.BC=AB.AQ$

$\to \dfrac12NH.BC=\dfrac12AB.AQ$

$\to S_{BCN}=S_{ABQ}$