Đáp án+Giải thích các bước giải:

`***` $\tt{TT:}$
`@` Cho đường tròn `(O),` điểm `A` nằm ngoài đường tròn sao cho `OA=3R.`
`@` Từ `A` kẻ `2` tiếp tuyến `AP,AQ` đến (O) tại `P, Q.`
`@` Lấy `M in (O)` sao cho `PM` `/``/` `AQ`
`@` Đường thẳng `AM` cắt `(O)` tại điểm thứ hai là `N.`
`@` Đường thẳng `PN` cắt `AQ` tại `K.`

`a)` Chứng minh tứ giác `APOQ` nội tiếp

Ta có: `AP` và `AQ` là hai tiếp tuyến từ `A` đến `(O).`
`=> hat(PAO)=hat(QAO)` `(`góc giữa tiếp tuyến và bán kính`)`

Xét tam giác `OAP` và `OAQ` có:

`OA` chung

`OP=OQ` `(`bán kính`)`

`hat(PAO)=hat(QAO)`

`=> △OAP=△OAQ (c.g.c)`
`=> hat(POA)=hat(QOA)`

Mà `hat(POA) + hat(QOA)=hat(POQ) = 180^circ`

`=>` Tổng hai góc đối của tứ giác `APOQ` `= 180^circ`
`=>` Tứ giác `APOQ` nội tiếp.

`b)` Do `PM` `/``/` `AQ` `(g t)`
`=> hat(APN)=hat(MPN)` `(`hai góc slt`)`

Lại có: `M, P, N` nằm trên `(O)`
`=> hat(MPN)` là góc nội tiếp chắn cung `MN`

Góc ở tâm chắn cùng cung `MN` là `hat(PON)`

`=> hat(MPN)=1/2 hat(PON)`

`=> hat(APN)=1/2 hat(PON)` `(đpcm)`

*C/m: `KA^2=KN*KP`

Từ `A` kẻ hai tiếp tuyến `AP, AQ`
`=> AP=AQ`

Xét `△APK` và `△AQK` có:

`AP=AQ=AQ` `(`tính chất tiếp tuyến`)`

`AK` chung
`=> △APK` và `△AQK` cân tại `A`
`=> hat(PAK)=hat(QAK)`

`=>` tia `AK` là phân giác của `hat(PNQ)`

Áp dụng định lý phân giác ngoài đường tròn:

`KA^2=KN*KP` `(đpcm)`

`c)` Ta có: `PM` `/``/` `AQ` `(g t)`

Mà `AQ bot OQ` `(`vì `AQ` là tiếp tuyến`)`
`=> PM bot OQ`
`=> PM bot QS` `(`vì `QS` đi qua `O,` mà `OQ bot AQ)`

Do đó, tứ giác `PMSN` là tứ giác nội tiếp `(4` điểm cùng thuộc đường tròn`)`

Xét `△PNM` có:

`NS` là đường chéo của tứ giác nội tiếp `PMSN`

Trong tứ giác nội tiếp, đường nối từ đỉnh `P` đến điểm giữa cung đối diện chia đôi `hat(PNM)`

`=> hat(PNS)=hat(MNS)`

`=>` Tia `NS` là phân giác của `hat(PNM).` `(đpcm)`

                         `~``~``~``\text{Chúc bạn học tốt và mong được hay nhất ạ!}``~``~``~`

$#Jack148k11$