a. Chứng minh AE=AF

• Vì E là ảnh của H qua phép đối xứng qua đường thẳng AB, nên đoạn AB là trung trực của EH, do đó:

  AB⊥EH, AB là trung trực ⇒AE=AH

• Tương tự, F là ảnh của H qua đối xứng qua AC, nên:

  AC⊥FH, AC là trung trực ⇒AF=AH

• Từ đó:

  AE=AF=AH⇒AE=AF(đpcm)

b. Chứng minh HA là phân giác của ∠MHN

• Ta có E là ảnh đối xứng của H qua AB, nên AB là trung điểm của đoạn HE.
  Tương tự, AC là trung điểm đoạn HF.

• Mà M=EF∩AB, N=EF∩AC nên các điểm M,H,N đều nằm trên đoạn EF
  Do đó, tam giác MHN có H∈EF, M,N∈ EF

• Xét tam giác MHN, A là điểm nằm ngoài, AH là đường cao.
  Vì AE=AF và E, F là đối xứng nhau qua các cạnh của tam giác, nên đoạn EF là đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC tại M, N, sao cho:

  ∠MHA=∠NHA⇒HA là tia phân giác của ∠MHN(đpcm)

c. Chứng minh CM∥EH. BN∥FH

• Vì E là đối xứng của H qua AB, nên đoạn EH⊥AB tại trung điểm D, tức EH⊥AB
  Tương tự, F là đối xứng của H qua AC, nên FH⊥AC

• Gọi CM là đoạn thẳng nối từ đỉnh C đến giao điểm M=AB∩EF
  Vì EF là đường nối hai điểm đối xứng của H, nên:

  • EH⊥AB,

  • AB chứa M,

  • Suy ra: CM∥EH vì cả hai cùng vuông góc với AB.

  Tương tự:

  • FH⊥AC

  • AC chứa N,

  • Suy ra: BN∥FH vì cùng vuông góc với AC.

Kết luận:

• a. AE=AF do E,F là đối xứng của H qua các cạnh của tam giác.

• b. HA là phân giác của ∠MHN vì hai góc ở đỉnh bằng nhau.

• c. CM∥EH, BN∥FH vì cùng vuông góc với cạnh tương ứng của tam giác.