Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BFH}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to B, E, H, F\in$ đường tròn đường kính $HB$

Gọi $I$ là trung điểm $HB$

$\to I$ là tâm$(BEHF)$

2.Ta có: $ \Delta AFC$ vuông tại $F, M$ là trung điểm $AC$

$\to MF=MA=MC=\dfrac12AC$

$\to \Delta MFC$ cân tại $M$

Gọi $BH\cap AC=D$

Vì $AE\perp BC, CF\perp AB, AE\cap CF=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

Vì $\widehat{BFC}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to BCDF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{MFC}=\widehat{MCF}=\widehat{DCF}=\widehat{DBF}=\widehat{DBH}$

$\to MF$ là tiếp tuyến của $(I)$

3.Kẻ đường kính $BK$ của $(O)$

$\to \widehat{BNK}=\widehat{BAK}=\widehat{BCK}=90^o$

$\to KN\perp NB, KA\perp AB, KC\perp BC$

$\to KA//CH, KC//HA$

$\to KAHC$ là hình bình hành

$\to AC\cap HK$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $M$ là trung điểm $AC$

$\to M$ là trung điểm $HN$

$\to M, H, N$ thẳng hàng

Ta có: $N\in (I)\to \widehat{HNB}=\widehat{HFB}=90^o$

$\to HN\perp NB$

Mà $NK\perp NB$

$\to N, H, K$ thẳng hàng

$\to N, H, M, K$ thẳng hàng

$\to N, H, M$ thẳng hàng