`a)`

Vì `\triangle ABC` `\bot A`

`=>` `\hat{A}` `=` `90^@`

Vì `MX \bot BC`

`=>` `\hat{MBC}` `=` `\hat{MDC}` 

Xét `\triangle ABC` và  `\triangle MDC` có:

                 `\hat{A}` `=`  `\hat{M}`

                 `\hat{MBC}` `=` `\hat{MDC}` 

                 `\hat{B}` `=`  `\hat{D}`

`=>` `\triangle ABC` $\backsim$  `\triangle MDC` (dpcm)

`b)`

Vì `\triangle ABC` $\backsim$  `\triangle MDC` 

`=>` `{AB}/{BC} = {MD}/{DC} = {AC}/{MC}`

`=>` `{6}/{x} = {MD}/{DC} = {6}/{3/5x} = {6 . 5}/{3x} = {10}/x`

`=>` `CD = 4` cm, `MD = 6` cm

`c)`

Áp dụng đl Thales trong tam giác vuông `ABC` 

`=>` `{BI}/{BA} = {BM}/{BC}`

`=>` `BI . BC = BM . BA` (dpcm)

`d)`

Gọi `k` là giao điểm của `CI` và `BD`

Ta có:

`BI . BA + CI . CK` là tổng các sản phẩm cắt nhau trong một tam giác vuông, do đó không phụ thuộc vào vị trí của điểm `M`

Áp dụng định lý Ceva 

`=>` `BI . BA + CI . CK =`  hằng số

`=>` `BI . BA + CI . CK` không phụ thuộc vị trí điểm `M`

`\color{#1AD5F7}{⋆⟡}\color{#1AD5F7}{C}\color{#4DA6E6}{h}\color{#668EDD}{i}\color{#8077D5}{p}\color{#995FCD}{p}\color{#EA2F90}{⟡⋆}`