a)

Xét $\triangle ABH$ (vuông tại H) và $\triangle ACK$ (vuông tại K):

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

$\angle BAH = \angle CAK$ (góc A chung)

$\angle BHA = \angle CKA = 90^\circ$

Vậy $\triangle ABH = \triangle ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Từ đó suy ra AK = AH (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác AKH cân tại A.

---------------------------------------------

b) 

Xét $\triangle ABI$ và $\triangle ACI$:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

IB = IC (vì $\triangle BIC$ cân tại I, chứng minh như trên)

AI là cạnh chung

Vậy $\triangle ABI = \triangle ACI$ (c.c.c).

Từ đó suy ra $\angle BAI = \angle CAI$ (hai góc tương ứng).

Vì tia AM nằm giữa hai tia AB và AC, nên AM là tia phân giác của góc BAC.

---------------------------------------------

c) 

Tam giác AKH cân tại A (chứng minh ở phần a) nên $\angle AKH = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$.

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên $\angle ABC = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$.

Suy ra $\angle AKH = \angle ABC$.

Hai góc này là hai góc đồng vị. Do đó, HK // BC.

---------------------------------------------