Cho tam giác nhọn ABCABC, có hai đường cao BDBD và CECE. Trên tia đối của BDBD lấy điểm MM sao cho MB=ACMB = AC. Trên tia đối của CECE lấy điểm NN sao cho CN=ABCN = AB.

a) Chứng minh ∠ABM=∠ACN\angle ABM = \angle ACN

• Vì BD⊥ACBD \perp AC, nên BDBD là đường cao.

• Vì CE⊥ABCE \perp AB, nên CECE là đường cao.

• MM nằm trên tia đối của BDBD nên MB⊥ACMB \perp AC.

• NN nằm trên tia đối của CECE nên CN⊥ABCN \perp AB.

• Xét hai tam giác ABMABM và ACNACN, góc ∠ABM\angle ABM đối với góc ∠ACN\angle ACN do các đoạn thẳng vuông góc tương ứng.

• Vì MB=ACMB = AC và CN=ABCN = AB, góc ∠ABM=∠ACN\angle ABM = \angle ACN.

b) Chứng minh tam giác ABM=ABM = tam giác NCANCA

• Ta có AB=CAAB = CA (cạnh trong tam giác ABCABC).

• MB=ACMB = AC (theo giả thiết).

• CN=ABCN = AB (theo giả thiết).

• Góc ∠ABM=∠ACN\angle ABM = \angle ACN (phần a).

• Theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △ABM=△NCA\triangle ABM = \triangle NCA.

c) Chứng minh tam giác MANMAN là tam giác vuông cân

• Do △ABM=△NCA\triangle ABM = \triangle NCA nên AM=ANAM = AN.

• Góc tại AA trong tam giác MANMAN là góc vuông vì MM và NN nằm trên tia đối của các đường cao.

• Vậy tam giác MANMAN vuông cân tại AA.