Câu $13:$

$a)$

Ta có$:$

$11^{n+2}$  $+$ $12^{2n+1}$  

$=$ $11^{n}$ $.$ $11^{2}$ $+$  $12^{2n}$ $. $ $12^{1}$ 

$= 121.$ $11^{n}$  $+ 12.$ $144^{n}$ 

$= (133 – 12).$ $11^{n}$  $+ 12 .$ $144^{n}$ 

$= 133 .$ $11^{n}$ $-$ $12 .$ $11^{n}$ $+$ $144^{n}$  $. 12$ 

$= 133 .$ $11^{n}$ $+$ $($$144^{n}$  $–$ $11^{n}$ $)$ $. 12$

Ta có: $133.$ $11^{n}$ chia hết cho $133.$

Mà $144^{n}$ $–$ $11^{n}$ chia hết cho $(144 – 11)$ hay $133$.

Suy ra $133 .$ $11^{n}$ $+$ $($$144^{n}$  $–$ $11^{n}$ $)$ $. 12$ hay $11^{n+2}$  $+$ $12^{2n+1}$ chia hết cho $133.$

Vậy  $11^{n+2}$  $+$ $12^{2n+1}$ chia hết cho $133.$

$b)$

Ta có$:$

$\frac{10n-7}{4n-10}$

$=$ $\frac{2,5(4n-10)+18}{4n-10}$ 

$=$ $2,5$ $+$ $\frac{18}{4n-10}$ 

Vì n là số tự nhiên để phân số $B$ đạt giá trị lớn nhất khi $\frac{18}{4n-10}$ đạt giá trị lớn nhất.

Mà $\frac{18}{4n-10}$ đạt giá trị lớn nhất khi $4n-10$ là số nguyên dương nhỏ nhất.

$+)$ Nếu  $4n-10 = 1$ thì $4n = 11$ hay $n = 2,75$ (loại)

$+)$ Nếu  $4n-10 = 2$ thì $4n = 12$ hay $n = 3$ (chọn)

Khi đó$:$ $B =$ $2,5$ $+$ $\frac{18}{2}$ $= 11,5$

Vậy $B$ đạt giá trị lớn nhất là $11,5$ khi $n = 3.$

`color{#fcaaa4}{1}color{#fcaaa4}{9}color{#fcaaa4}{5}color{#fcaaa4}{0}color{#fcaaa4}{6}color{#fcaaa4}{4}color{#fcaaa4}{9}`