Cho tam giác ABC cân tại A, AD là đường phân giác. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA

a) Chứng minh rằng D là trung điểm cạnh BC

b) Chứng minh rằng tam giác BAE cân

c) Gọi M là trung điểm của AC, N là giao điểm của BC và EM. Chứng minh rằng BC = 3NC

Làm ơn giải gấp hộ mình nha! Mong mọi người giải giùm mình một cách chi tiết. Xin chân thành cảm ơn. <3

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Chứng minh rằng D là trung điểm cạnh BC

• Tam giác ABC cân tại A, AD là đường phân giác của góc A.
• Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến.
• Vậy, D là trung điểm của BC.

b) Chứng minh rằng tam giác BAE cân

• Xét tam giác ABD và tam giác ECD:
  • AD = DE (giả thiết)
  • góc ADB = góc EDC (đối đỉnh)
  • BD = CD (D là trung điểm BC)
• => Tam giác ABD = tam giác ECD (c.g.c)
• => AB = EC (hai cạnh tương ứng)
• Ta có AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
• => EC = AC
• => Tam giác ACE cân tại C
• => góc EAC = góc AEC
• Ta có góc BAD = góc DAC (AD là phân giác góc A)
• Mà góc DAC = góc DEC (tam giác ABD = tam giác ECD)
• => góc BAD = góc DEC
• => góc BAE = góc BAD + góc DAE = góc DEC + góc DAE
• Mà góc DEC + góc DAE = góc BAE
• => góc BAE = góc BEA
• => Tam giác BAE cân tại B.

c) Gọi M là trung điểm của AC, N là giao điểm của BC và EM. Chứng minh rằng BC = 3NC

• Gọi I là trung điểm của DC. Suy ra: DI = IC = NC
• Xét tam giác ADC, ta có:
  • M là trung điểm AC (gt)
  • I là trung điểm DC (cách vẽ)
• => MI là đường trung bình của tam giác ADC
• => MI // AD
• Mà AD // BE (do góc DAE và góc AEB bằng nhau chứng minh ở câu b)
• => MI // BE
• Xét tam giác BEC, ta có:
  • I là trung điểm DC => I là trung điểm EC (do tam giác ABD = tam giác ECD)
  • MI // BE (cmt)
• => N là trung điểm BI (định lý đường trung bình trong tam giác)
• => BN = NI
• Ta có: BC = BN + NI + IC = NI + NI + IC = 2NI + IC
• Mà NC = IC, do đó: BC = 2NI + NC
• Lại có: BI = BN + NI = 2NI
• => BC = BI + IC = 2NI + NC
• => BC = BN + NI + IC
• Mà BN = NI = IC = NC
• => BC = NC + NC + NC = 3NC
• Vậy BC = 3NC