Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{AHB}=90^o$

$\to \widehat{PHB}=\widehat{PIB}=90^o$

$\to P, H, I, B\in$ đường tròn đường kính $BP$

b.Xét  $\Delta AHB, \Delta AIP$ có:

Chung $\hat A$

$\hat H=\hat I(=90^o)$

$\to \Delta AHB\sim\Delta AIP(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AB}{AP}$

$\to AH.AP=AI.AB$

c.Vì $PI\perp AB, BH\perp AP, PI\cap BH=E$

$\to E$ là trực tâm $\Delta APB$

$\to AK\perp BP$

$\to \widehat{AKB}=90^o$

$\to K\in$ đường tròn đường kính $AB$

$\to K\in (O)$

Do $OB\perp KN$

$\to K, N$ đối xứng qua $OB$

Ta có:

$OB\perp CD$

$\to OB$ là trung trực $CD$

Ta có:

$\widehat{EIB}=\widehat{EKB}=90^o,\widehat{EHA}=\widehat{EIA}=90^o$

$\to AHEI, EIBK$ nội tiếp

$\to \widehat{NID}=\widehat{CIK}=\widehat{EBK}=\widehat{HBK}=\widehat{HAK}=\widehat{HAE}=\widehat{HIE}$

$\to H,I, N$ thẳng hàng