Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AMB}=90^o\to AM\perp MB$

         $DN$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{ODN}=90^o$

$\to \widehat{EMN}=\widehat{EDN}=90^o$

$\to E,M,N,D$ nội tiếp đường tròn đường kính $EN$

2.Từ câu a$\to \widehat{ENM}=\widehat{EDM}=\widehat{CDM}=\widehat{CBM}$

$\to CB//EN$

3.Ta có: $BP\perp DN, OD\perp DN, CD\perp AB, OB=DO=R$

$\to OBPD$ là hình vuông cạnh $R$

$\to BP=R$

Mà $\widehat{BMA}=\widehat{BPN}(=90^o)$

       $\widehat{MBA}=\widehat{BNP}$ vì $AB//DN(\perp CD)$

$\to \Delta MAB\sim\Delta PBN(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{BP}=\dfrac{AB}{BN}$

$\to AM.BN=BP.AB=2R^2$

Xét $\Delta AOE,\Delta AMB$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AOE}=\widehat{AMB}(=90^o)$

$\to \Delta AOE\sim\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AO}{AM}=\dfrac{AE}{AB}$

$\to AE.AM=AO.AB=R\cdot 2R=2R^2$

Vì $NE//BC$

$\to S_{BNC}=S_{BEC}$

$\to S_{BNC}=\dfrac12BO\cdot CE$

$\to S_{BNC}=\dfrac12R\cdot CE$

Để $S_{BNC}$ lớn nhất

$\to CE$ lớn nhất

Ta có:

$CD\perp AB$

$\to A$ nằm giữa cung $CD$

$\to \widehat{CMA}=\widehat{AMD}$

$\to MA$ là phân giác $\widehat{CMD}$

$\to \dfrac{EC}{ED}=\dfrac{MC}{MD}=\tan\widehat{MDC}$

$\to \dfrac{EC}{EC+ED}=\dfrac{\tan\widehat{MDC}}{\tan\widehat{MDC}+1}$

$\to \dfrac{EC}{CD}=\dfrac{1}{1+\cot\widehat{MDC}}$

$\to \dfrac{EC}{2R}=\dfrac{1}{1+\cot\widehat{MDC}}$

Vì $M\in$ cung $BC$

$\to 0\le \widehat{MDC}\le\widehat{BDC}$

$\to 0\le \widehat{MDC}\le 45^o$

$\to\cot\widehat{MDC}\ge \cot45^o=1$

$\to \dfrac{EC}{2R}\le\dfrac1{1+1}=\dfrac12$

$\to EC\le R$

Dấu = xảy ra khi $M$ trùng $B$