Bài 3:

Ta có:

`1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + 1/18 + 1/19`

`= (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + 1/11 + 1/12 + ... + 1/19)`

Xét biểu thức `1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9` có:

`1/5 = 1/5`

`1/6 < 1/5`

`1/7 < 1/5`

`1/8 < 1/5`

`1/9 < 1/5`

Suy ra: `1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5 . 1/5 = 1`

Xét biểu thức 1/10 + 1/11 + 1/12 + ... + 1/19` có:

`1/10 = 1/10`

`1/11 < 1/10`

`1/12 < 1/10`

`...`

`1/19 < 1/10`

Suy ra: `1/10 + 1/11 + 1/12 + ... + 1/19 < 10 . 1/10 = 1`

Cộng vế theo vế của bất đẳng thức, ta được:

`(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9) + (1/10 + 1/11 + 1/12 + ... + 1/19) < 1 + 1 = 2`

Vậy, `1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + 1/18 + 1/19 < 2` (đpcm)

Bài 4:

Để phân số `(2n+3)/(n+1)` (`n in NN`) là phân số tối giản thi `(2n+3,n+1) = 1`

Gọi `d = (2n+3,n+1)`, suy ra:

`{(2n + 3 vdots d),(n+1 vdots d):}`

`{(2n + 3 vdots d),(2 (n+1) vdots d):}`

`{(2n + 3 vdots d),(2n + 2 vdots d):}`

`(2n+3) - (2n + 2) vdots d`

`1 vdots d`

Suy ra: `d in {1;-1}`

Mà `d = (2n+3,n+1)`

Suy ra: `d = 1`

Vậy, `(2n + 3)/(n+1)` với `n in NN` là phân số tối giản