Cho đường tròn tâm O bán kính r có hai đường kính AB và MN vuông góc tại O. Gọi C trung điểm của OB, tia MC cắt đường tròn tâm O tại D. Gọi E là giao điểm của AD và MN. Chứng minh AD.AE = 2R^2 ; OA= 3OE

`\hat(ADB)=90^o` (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét `\triangle AOE` và `\triangle ADB` có:

`\hat(A)` chung

`\hat(AOE)=\hat(ADB)=90^o`

`-> \triangle AOE` $\backsim$ `\triangle ADB\ (g-g)`

`-> (AE)/(AB)=(OA)/(AD)`

`-> AE*AD=AB*OA`

`-> AD*AE=2R*R=2R^2`

`C` là trung điểm `OB`

`-> OC=BC=1/2OB=1/2R`

`-> AC=OA+OC=R+1/2R=3/2R`

`-> (BC)/(AC)=(3/2R)/(1/2R)=1/3`

Do `MN\botAB`

`-> M` nằm chính giữa cung `AB`

`-> \triangle AMB` cân tại `M`

`-> \hat(MAB)=\hat(MBA)\ (1)`

Có:

`\hat(MDB)=\hat(MAB)` (Góc nội tiếp chắn cung `MB`) `(2)`

`\hat(MDA)=\hat(MBA)` (Góc nội tiếp chăn cung `MA`) `(3)`

`(1)(2)(3)->\hat(MDB)=\hat(MDA)`

`-> MD` là phân giác `\hat(ADB)`

`-> (BD)/(AD)=(BD)/(AC)=1/3`

Mà `\triangle ADB` $\backsim$ `\triangle AOE\ (cmt)`

`-> (OE)/(OA)=(BD)/(AC)=1/3`

`-> OA=3OE`