Đáp án: $MN=50\sqrt3\: km$

Giải thích các bước giải:

 Gọi $I(-64, 128, 64)$ là tâm mặt cầu nằm trong phạm vi kiểm soát không lưu

Kẻ $IA\perp (P)$

$\to \vec{n}=(1, -2, 2)$ là vector chỉ phương của $IA$

$\to IA:\dfrac{x+64}{1}=\dfrac{y-128}{-2}=\dfrac{z-64}2$

Tọa độ điểm $A$ là:

$\begin{cases}\dfrac{x+64}{1}=\dfrac{y-128}{-2}=\dfrac{z-64}2\\x-2y+2z-1458=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}\dfrac{x+64}{1}=\dfrac{y-128}{-2}\\\dfrac{y-128}{-2}=\dfrac{z-64}2\\x-2y+2z-1458=0\end{cases}$

$\to \begin{pmatrix}x=\dfrac{716}{6},\:&y=-\dfrac{716}{3},\:&z=\dfrac{1292}{3}\end{pmatrix}$

$\to A(\dfrac{716}6, \dfrac{-716}3, \dfrac{1292}3)$

$\to AI=\sqrt{(\dfrac{716}6+64)^2+( \dfrac{-716}3-128)^2+( \dfrac{1292}3-64)^2}=550$

Để $MN$ nhỏ nhất $\to N=IA\cap (I)$

$\to AN=IA-IN=550-500=50$

Ta có:

$\vec{MN}//(1,1,1)$

$\vec{IA}//(1, -2, 2)$

$\to \cos\widehat{ANM}=\dfrac{|1\cdot 1+1\cdot (-2)+1\cdot 2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac1{\sqrt3}$

$\to \dfrac{AN}{MN}=\dfrac1{\sqrt3}$

$\to \dfrac{50}{MN}=\dfrac1{\sqrt3}$

$\to MN=50\sqrt3$