`a)`

`M` nằm chính giữa cung `AB`

`-> MO \bot AB`

`-> \triangle AKO` vuông tại `O` nội tiếp đường tròn đường kính `AK\ (1)`

`\hat(AEB)=90^o` (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay `\hat(AEK)=90^o`

`-> \triangle AEK` vuông tại `E` nội tiếp đường tròn đường kính `AK\ (2)`

`(1)(2)->` Tứ giác `EAOK` nội tiếp đường tròn đường kính `AK`

`b)`

`\hat(EAM)=\hat(EBM)` (Góc nội tiếp cùng chắn cung `EM`)

Hay `\hat(EAM)=\hat(FBM)`

Xét `\triangle AEM` và `\triangle BFM` có:

`AM=BM` (`M` nằm chính giữa cung `AB`)

`\hat(EAM)=\hat(FBM)` (cmt)

`AE=BF` (gt)

`-> \triangle AEM = \triangle BFM\ (c-g-c)`

`-> \hat(AME)=\hat(BMF)`

`\hat(AMB)=90^o` (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`-> \hat(AMF)+\hat(BMF)=90^o`

Mà `\hat(AME)=\hat(BMF)` (cmt)

`-> \hat(AMF)+\hat(AME)=90^o`

`-> \hat(EMF)=90^o`

`\hat(BEM)=1/2\hat(BOM)` (Góc nội tiếp và góc ở tâm)

`-> \hat(BEM)=1/2*90^o=45^o`

Hay `\hat(FEM)=45^o`

Xét `\triangle MEF`

`\hat(EMF)=90^o`

`\hat(FEM)=45^o`

`-> \triangle MEF` vuông cân

`c)`

Tứ giác `AEMB` nội tiếp `(O)`

`-> \hat(DEM)=\hat(MBA)` (Góc ngoài bằng góc trong đối diện)

Xét `\triangle AMB` vuông tại `M` có:

`MA=MB`

`-> \triangle AMB` vuông cân tại `M`

`-> \hat(MBA)=45^o=\hat(DEM)`

Mà `\hat(MEK)=45^o\ (cmt)`

`-> EM` là phân giác `\hat(KED)`

`->(MD)/(MK)=(ED)/(EK)`

`-> MK*ED=MD*EK`