Lời giải

Đa thức bậc `4` có hệ số cao nhất là `1`

`=>` `f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d`

Ta có:

`f(1)=a+b+c+d+1=5` `=>` `a+b+c+d=4`

`f(2)=8a+4b+2c+d+16=11` `=>` `8a+4b+2c+d=-5`

`f(3)=27a+9b+3c+d+81=21=>27a+9b+3c+d=-60`

`f(-1)+f(5)=(-a+b-c+d+1)+(125a+25b+5c+d+625)=124a+26b+4c+2d+626`

`=9(a+b+c+d)-16(8a+4b+2c+d)+9(27a+9b+3c+d)+626`

`=9*4-16*(-5)+9*(-60)+626`

`=202`

Vậy `f(-1)+f(5)=202`

Cách tìm hệ số tách

Nhận thấy ta chỉ có `3` phương trình: `{(a+b+c+d=5),(8a+4b+2c+d=-5),(27a+9b+3c+d=-60):}`

Mà có tận `4` ẩn `a,b,c,d` nên không thể giải ra số mà chỉ có thể rút `3` biến nào đó theo `1` biến còn lại.

Nếu như thi trắc nghiệm ta có thể cho `d` là một số bất kỳ và biến đây thành hệ phương trình ba ẩn và ấn máy tính giải `a,b,c` để tìm hàm `f(x)` sao đó tính `f(-1)+f(5)`.

Nhưng nếu thi tự luận thì hiển nhiên cách này không được chấp nhận.

Do không tìm được cụ thể hàm `f(x)` nên ta nghĩ ngay phải tính `f(-1)+f(5)` thông qua `f(1),f(2),f(3)`

Ta biểu diễn: `f(-1)+f(5)=m*f(1)+n*f(2)+p*f(3)+626`

`=(m+8n+27p)a+(m+4n+9p)b+(m+2n+3p)c+(m+n+p)d+626`

Mà `f(-1)+f(5)=124a+26b+4c+2d+626`

Đồng nhất hệ số, ta được: `{(m+8n+27p=124),(m+4n+9p=26),(m+2n+3p=4),(m+n+p=2):}`

Lấy ra `3` phương trình bất kỳ nhập vào máy tính, ta được: `{(m=9),(n=-16),(p=9):}`

Thay lại, ta thấy đây đúng là nghiệm của hệ

Như vậy: `f(-1)+f(5)=9f(1)-16f(2)+9f(3)+626`