Đáp án+Giải thích các bước giải:

bđt cauchy 3 số:

`a + b + c \geq 3 \root{3}{abc} (a ; b ; c \geq 0)`

------------------------------------

Chứng minh:

Ta có:

`x^3 + y^3 + c^3 - 3xyz` (`x ; y ; z \geq 0`)

`= x^3 + y^3 + 3x^2y+3xy^2 + z^3 - 3xyz - 3x^2y-3xy^2`

`= (x + y)^3 + z^3 -3xy(x + y + z)`

`= (x + y + z)[(x + y)^2 - (x + y)z + z^2] - 3xy(x + y + z)`

`= (x + y + z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz - 3xy + z^2)`

`= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)`

`= 1/2(x + y + z)( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2xz)`

`= 1/2 (x + y + z)[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (y - z)^2]`

Mà `x  ; y ; z \geq 0`

`-> x + y + z > 0`

`(x - y)^2 + (y - z)^2 + (y - z)^2 \geq 0 ∀ x ; y ; z`

`-> x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \geq 0`

`-> x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz`

Đặt `x^3 = a ; y^3 = b ; z^3 = c` (`a ; b ; c \geq 0`)

`-> a + b + c \geq 3\root{3}{abc}` (đpcm)