Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta BDH,\Delta BEC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to \Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$

$\to BH.BE=BD.BC$

b.Xét $\Delta CDH,\Delta CFB$ có:
Chung $\hat C$

$\hat D=\hat F(=90^o)$

$\to \Delta CDH\sim\Delta CFB(g.g)$

$\to \dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}$

$\to CH.CF=CD.CB$

$\to BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.BC=BC^2$

c.Ta có:

$HK\cap BC=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HB=CK, CH=BK, HB//CK, CH//BK$

Gọi $OM\cap DK=J$

Ta có:

$\Delta ABK,\Delta ACK$ vuông tại $B, C$

$O$ là trung điểm $AK$

$\to OB=OA=OK=\dfrac12AK, OC=OA=OK=\dfrac12AK$

$\to OB=CO$

$\to \Delta OCB$ cân tại $O$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to OM\perp BC$

$\to OM//AH(\perp BC)$

$\to OJ//AD$

Mà $O$ là trung điểm $AK$

$\to J$ là trung điểm $DK$

Qua $O$ kẻ $LN//DK$

$\to \dfrac{GO}{GD}=\dfrac{OL}{DK}$

      $\dfrac{ON}{DK}=\dfrac{IO}{IK}$

      $\dfrac{OL}{JK}=\dfrac{MO}{MJ}=\dfrac{ON}{JD}\to OL=ON$ vì $JD=JK$

$\to \dfrac{GO}{GD}=\dfrac{IO}{IK}$

$\to GI//DK$