Giải thích các bước giải:

a.Vì $IA, IB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to IA\perp AO, IB\perp OB$

Vì $H$ là trung điểm $MN$

$\to OH\perp MN$

$\to \widehat{IAO}=\widehat{IHO}=\widehat{IBO}=90^o$

$\to O, A, I, B, H\in$ đường tròn đường kính $OI$

 b.Vì $IA,IB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OI\perp AB, OI$ là trung trực $AB$

Mà $J\in OI$

$\to JA=JB$

$\to \Delta JAB$ cân tại $J$

$\to \widehat{JAI}=\widehat{JBA}=\widehat{JAB}$

$\to AJ$ là phân giác $\widehat{IAB}$

Tương tự: $BJ$ là phân giác $\widehat{IBA}$

$\to J $ tâm đường tròn nội tiếp $\Delta IAB$

c.Ta có: $I, A, H, O, B\in$ đường tròn đường kính $IO$

$\widehat{AHI}=\widehat{IBA}=\widehat{ADB}$

$\to BD//MN$

Ta có: $\Delta IAB$ cân tại $I$ có tâm $J$ vừa là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp 

$\to \Delta IAB$ đều

$\to \widehat{AIB}=60^o$

$\to \widehat{AOB}=180^o-\widehat{AIB}=120^o$

$\to \widehat{IOA}=\widehat{IOB}=\dfrac12\widehat{AOB}=60^o$

Ta có:

$\cos\widehat{IOA}=\dfrac{OA}{OI}$

$\to OI=\dfrac{OA}{\cos\widehat{IOA}}=\dfrac{R}{\cos60^o}=2R$

$\to IB=IA=\sqrt{IO^2-OA^2}=R\sqrt3$

Kẻ $MC\perp IB$

Vì $MN//BD$

$\to S_{DMI}=S_{BMI}=\dfrac12MC.IB\le\dfrac12MC.R\sqrt3$

Để $S_{MID}$ lớn nhất 

$\to MC$ lớn nhất

Kẻ đường kính $BK$

$\to \widehat{BMK}=90^o=\widehat{MCB}$

Mà $\widehat{CBM}=\widehat{MKB}$

$\to \Delta CBM\sim\Delta MKB(g.g)$

$\to \dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MB}{KB}$

$\to MC=\dfrac{MB^2}{KB}=\dfrac{MB^2}{2R}$

Do $M\in$ cung $AB$ nhỏ

$\to MB\le AB$

$\to MC\le\dfrac{AB^2}{2R}=\dfrac{(R\sqrt3)^2}{2R}$

$\to S_{DMI}\le \dfrac12\cdot \dfrac{(R\sqrt3)^2}{2R}\cdot R\sqrt3=\dfrac{3\sqrt3R^2}4$

Dấu = xảy ra khi $M, A$ trùng nhau