$**$ Nếu `xy>=0` :

Có : `1=x^2 +y^2 +z^2 >= -2xy+z^2 =>2xy>=z^2 -1=>16xyz>=8z(z^2 -1)`

`1=x^2 +y^2 +z^2 >=((x-y)^2)/2+z^2 =>2(1-z^2)>=(x-y)^2=>|x-y|<=\sqrt{2(1-z^2)}`

Giả sử `x>=z>=y`

Có : `|x-y|+|y-z|+|z-x|=|x-y|+x-y<=\sqrt{2(1-z^2)}+\sqrt{2(1-z^2)}=2\sqrt{2(1-z^2)}`

`=>VT<=2\sqrt{3(1-z^2)}-8z(z^2 -1)`

Ta chứng minh : `3+4z(z^2 -1)>=\sqrt{3(1-z^2)}`

`<=>(2z-1)^2 (4z^4 +4z^3 -5z^2 +6)>=0` ( Luôn đúng ) 

$**$ Nếu `xy<=0=>x>=0` và `y<=0` :

Nếu `z<=0`, Đặt `(x;y;z)=(a;-b;-c)=>a^2 +b^2 +c^2 =1` với `a,b,c>0` và `b>=c`

`VT=\sqrt{3/2}(|a+b|+|b-c|+|a+c|)-16abc=\sqrt{3/2}(2a+2b)-16abc<\sqrt{6}(a+b)<=\sqrt{6}.\sqrt{2}<6`

Nếu `z>=0`, Đặt `(x;y;z)=(a;-b;c)=>a^2 +b^2 +c^2 =1` với `a;b;c>0` và `a>=c`

Có : `1=a^2 +b^2 +c^2>=((a+b)^2)/2+c^2 =>2(1-c^2)>=(a+b)^2=>a+b<=\sqrt{2(1-c^2)}`

`VT=\sqrt{3/2}(|a+b|+|b+c|+|a-c|)+16abc=\sqrt{3/2}(2a+2b)+16abc`

`<=2\sqrt{3(1-c^2)}+4c(1-c^2)<=6`

`<=>4(c^3 -1)^2 +8c^3 +c^2 +6(c-1)^2 >=0` ( Luôn đúng )