Đáp án:

`30` m 

Giải thích các bước giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ với A trung với gốc toạ độ O

`(P):y=ax^2 +bx +c`

Qua `B(0,35)` 

`→` `c=35`

Qua `I(20,15)`

`→` `400a+20b+35=15`

`y'=2ax+b`

Hàm số có có cực trị tại `x=20`

`→` `40a+b=0`

`→` `a=1/{20}` và `b=-2`

`→` `(P):y=1/{20}x^2 -2x+35`

Lấy `H∈(P)`

Gọi quãng đường cần làm là:

`EM+EN`

`=\sqrt{EH^2 +HM^2}+\sqrt{HK^2 +KN^2}`

Quãng đường ngắn nhất khi `HM=KN=0`

`→` `f(x)=EH+HK`

`H∈(P)`

`→` `H(x,1/{20}x^2 -2x+35)`

`EH=d(E,Ox)`, `HK=d(H,Oy)`

`→` `f(x)=1/{20}x^2 -x+35`

`f'(x)=1/10 x -1=0`

`→` `x=10`

Hàm số đạt cực trị tại nghiệm của đạo hàm

`→` `min f(x)=f(10)=30`