Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ADB}=90^o$

$\to \widehat{AHC}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to A, C, H, D\in$ đường tròn đường kính $AC$

b.Ta có: $AHDC$ nội tiếp

$\to \widehat{DHE}=\widehat{ACD}=90^o-\widehat{DAC}=\widehat{DAB}$

Mà $\widehat{DEH}=\widehat{AED}=\widehat{ABD}$

$\to \Delta DEH\sim\Delta DBA(g.g)$

$\to \widehat{EDH}=\widehat{BDA}=90^o$

$\to DE\perp DH$

c.Vì $ID, IE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to ID=IE, OI\perp DE$

Tương tự: $MD=MA, MO\perp AD$

$\to OM//BC(\perp AD)$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to M$ là trung điểm $AC$

$\to \dfrac{CM}{CA}=\dfrac12$

$\to S_{MOI}=\dfrac12S_{ODIE}+S_{ODMA}=\dfrac12S_{AOEIM}$

$\to S_{ACEO}=3\cdot \dfrac12S_{AOEIM}$

$\to S_{ACEO}=\dfrac32S_{AOEIM}$

$\to S_{AOEIM}=\dfrac23S_{ACEO}$

$\to S_{ACDO}-S_{AOEIM}=\dfrac13S_{ACEO}$

$\to S_{CMI}=\dfrac13S_{ACEO}$

Mà $S_{OIM}=\dfrac12S_{AOEIM}=\dfrac13S_{OACE}$

$\to S_{OIM}=S_{CIM}$

$\to $Khoảng cách từ $O, C$ đến $IM$ bằng nhau

$\to OC\cap IM=F$ là trung điểm $OC$

Ta có: $OM//BC$

$\to \dfrac{OM}{DC}=\dfrac{FO}{FC}=1$

$\to OM=DC$

Mà $BC=2OM$

$\to BC=2DC$

$\to D$ là trung điểm $BC$

$\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\to AC=AB=8, BC=AB\sqrt2=8\sqrt2$

Ta có: $AO=\dfrac12AB=4$

$\to OC=\sqrt{AO^2+AC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5$

$\to AH=\dfrac{AO.AC}{OC} =\dfrac8{\sqrt5}$

$\to HE=HA=\dfrac{8}{\sqrt5}$

Mà $\widehat{DEH}=\widehat{DEA}=\widehat{DBA}=45^o$

$\to \Delta DHE$ vuông cân tại $D$

$\to DE=\dfrac{EH}{\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt5}$

$\to S_{DHE}=\dfrac12DE^2=\dfrac12\cdot (\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt5})^2=3.2$