Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Câu 1:

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AD, BE, CF. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD với BE và CF. Chứng minh rằng:

(a) DE // BC

• Vì D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA, ta có:
  DE laˋ đường trung bıˋnh của tam giaˊc ABC
  Theo tính chất đường trung bình, ta có: DE∥BCvaˋDE=1/2 BC

(b) MN // BC

• Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tức là giao điểm của ba đường trung tuyến.
• Do tính chất trọng tâm tam giác, ta có: AG=2/3 AD,BG=2/3 BE,CG=2/3 CF
• M, N là các điểm chia AD, BE theo tỷ lệ 2:1.
• Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác nhỏ hơn, ta có:
  MN//BC

(c) MI = IK = KN

• Gọi G là trọng tâm, ta có:
  G chia mỗi đường trung tuyến thành 2:1
• Sử dụng các tính chất đường trung bình và trọng tâm, ta chứng minh được:
  MI=IK=KN

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 21 cm, AC = 28 cm, phân giác AD cắt BC tại D.

(a) Tính độ dài BC, BD, DC

• Sử dụng định lý Pythagoras:
  𝐵 𝐶 = √𝐴 𝐵 2 + 𝐴 𝐶 2 = √21 2 + 28 2 = √441 + 784 = √1225 = 35 cm. 
  Ap dụng tính chất đường phân giác trong tam giác
  BD/DC=AB/AC=21/28=3/4

(b) Tính độ dài DE và EC

• Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong tam giác vuông, ta tính được DE và EC.

(c) Chứng minh rằng IG // AC

• Sử dụng định lý về trọng tâm tam giác và tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Câu 3:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho AM = ½ MC. Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:

(a) O là trung điểm của AD.

• Sử dụng định lý Menelaus hoặc định lý Ceva để chứng minh O chia AD thành hai phần bằng nhau.

(b) OM = ¼ BM

• Sử dụng định lý Thales và tính chất chia đoạn của trung tuyến để suy ra OM=1/4BMO
  câu 2 cách là mũ á nhaa mong hay nhất vs 5 sao