Cho 2 số tự nhiên a,b thoả mãn:a^3/a+b và b^3/a+b đều là số nguyên tố.Chứng

minh rằng a^2+3ab + 3a + b +1 là số chính phương.

Đặt $\frac{a^3}{a+b}=p$ với p là SNT.

$\Leftrightarrow a^3=p(a+b)$ $\Leftrightarrow a^3$ $\vdots$ $p$

Vì p là SNT nên $a$ $\vdots$ $p$

Do đó $a\geq p$

KMTTQ, giả sử $a\geq b$ ta có:

$p=\frac{a^3}{a+b}\geq\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2} \geq \frac{p^2}{2}\geq p$ (do $p\geq 2$)

Do đó dấu đẳng thức xảy ra khi: $a=b=p=2$

Thế lại vào biểu thức ra có:

$a^2+3ab+3a+b+1=2^2+3.2.2+3.2+2+1=25$ là SCP