Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

         $O$ là tâm $(ABC)$

$\to O$ là trung điểm $BC$

$\to AO\perp BC$

Ta có: $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to BD\perp CE$

$\to \widehat{EDB}=\widehat{EOD}=90^o$

$\to B, O, D, E\in$ đường tròn đường kính $BE$

b.Ta có: $\widehat{EDA}=180^o-\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$

$\to DA$ là phân giác $\widehat{EDB}$

Vì $AO\perp BC, \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\to AO$ là trung trực $BC$

Ta có: $E\in AO$

$\to EB=EC$

$\to \Delta EBA=\Delta ECA(c.c.c)$

$\to \widehat{EBA}=\widehat{ECA}=\widehat{DCA}=\widehat{ABD}$

$\to BA$ là phân giác $\widehat{EBD}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{EBD}$

$\to IE=ID$

$\to \widehat{IEF}=\widehat{IED}=\widehat{IDE}=\widehat{IBE}$

$\to \Delta IEF\sim\Delta IBE(g.g)$

$\to \dfrac{IE}{IB}=\dfrac{IF}{IE}$

$\to IE^2=IF.IB$

c.Ta có: $\widehat{FAK}=\widehat{FDK}=90^o$

$\to FAKD$ nội tiếp đường tròn đường kính $FK$

Mà $S$ là trung điểm $FK$

$\to S$ là tâm $(FAKD)$

$\to \widehat{SAD}=90^o-\dfrac12\widehat{ASD}=90^o-\widehat{AFD}=90^o-\widehat{BFD}=\widehat{FBD}=\widehat{ABD}$

$\to SA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to SA\perp AO$

Tương tự: $SD\perp (OD)$

$\to SO\perp AD$

$\to OS$ là phân giác $\widehat{AOD}$

$\to OS$ là phân giác $\widehat{EOD}$

Vì $I$ nằm chính giữa cung $DE$

      $E, B, O, D, I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$

$\to OI$ là phân giác $\widehat{EOD}$

$\to O, S, I$ thẳng hàng