Cho phương trình: (2m - 3)x² - 2(m - 2)x - 1 = 0 với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 2.

* Thay m = 2 vào phương trình, ta được:

* (2.2 - 3)x² - 2(2 - 2)x - 1 = 0

* (4 - 3)x² - 0x - 1 = 0

* x² - 1 = 0

* x² = 1

* x = ±1

* Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1.

b) Chứng minh với mọi m ∈ R, phương trình luôn có nghiệm.

* Xét hai trường hợp:

* Trường hợp 1: 2m - 3 = 0 => m = 3/2

* Thay m = 3/2 vào phương trình, ta được:

* (2.3/2 - 3)x² - 2(3/2 - 2)x - 1 = 0

* 0x² - 2(-1/2)x - 1 = 0

* x - 1 = 0

* x = 1

* Vậy phương trình có nghiệm x = 1 khi m = 3/2.

* Trường hợp 2: 2m - 3 ≠ 0 => m ≠ 3/2

* Đây là phương trình bậc hai.

* Tính Δ:

* Δ = b² - 4ac = [-2(m - 2)]² - 4(2m - 3)(-1)

* Δ = 4(m² - 4m + 4) + 4(2m - 3)

* Δ = 4m² - 16m + 16 + 8m - 12

* Δ = 4m² - 8m + 4

* Δ = 4(m² - 2m + 1)

* Δ = 4(m - 1)²

* Vì (m - 1)² ≥ 0 với mọi m ∈ R, suy ra Δ = 4(m - 1)² ≥ 0 với mọi m ∈ R.

* Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m ≠ 3/2.

* Kết luận: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m ∈ R.