Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax,By lần lượt là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. G

Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB, cùng phía với nửa đường tròn vẽ Ax,By lần lượt là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AO. Lấy 2 điểm P,Q nằm trên Ax, By sao cho PIQ=90°. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên PQ
a)Chứng minh tứ giác APHI nội tiếp 
b)Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AH với PI và BH với IQ.Chứng minh MN//AB
c)Chứng minh AP.PQ không đổi

hangbich · Answer

Giải thích các bước giải:
a.Ta có:
$\widehat{PAI}=\widehat{PHI}=90^o$
$	o APHI$ nội tiếp đường tròn đường kính $IP$
b.Vì $\widehat{IHQ}=\widehat{IBQ}=90^o$
$	o QHIB$ nội tiếp đường tròn đường kính $IQ$
$	o \widehat{IQH}=\widehat{IBH}$
$	o \widehat{IQP}=\widehat{HBA}$
Từ a $	o \widehat{IPQ}=\widehat{HAB}$
$	o \Delta HAB\sim\Delta IPQ(g.g)$
Vì $AB$ là đường kính của $(O)$
$	o \widehat{AHB}=90^o$
$	o \widehat{PIQ}=\widehat{AHB}=90^o$
$	o \widehat{MHN}=\widehat{MIN}=90^o$
$	o IMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $MN$
$	o \widehat{HMN}=\widehat{HIN}=\widehat{HIQ}=\widehat{HBQ}=\widehat{HAB}$
$	o MN//AB$
c.Xét $\Delta AIP,\Delta BIQ$ có:
$\widehat{IAP}=\widehat{IBQ}(=90^o)$
$	o \Delta IAP\sim\Delta QBI(g.g)$
$	o dfrac{AP}{BI}=\dfrac{AI}{BQ}$
$	o AP.BQ=AI.BI=\dfrac12R\cdot \dfrac32R=\dfrac34R^2$ không đổi

tranglanhlungbou · Answer

a) xét tam giác PHI vuông tại H 
suy ra P,H,I cùng thuộc 1 đtr đk PI (1)
vì PA là tiếp tuyến của (O) nên PA vuông góc AB tại A
xét tam giác PAI vuông tại A
suy ra 3 điểm P,A,I cùng thuộc 1 đtr đk PI (2)
từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A,P,I,H cùng thuộc 1 đtr đk PI
hay tứ giác APHI nội tiếp 
 
xét tam giác IHQ vuông tại H ( vì IH vuông góc PQ tại H)
suy ra 3 điểm I,H,Q cùng thuộc 1 đường tròn đk IQ (1)
vì BY là tiếp tuyến của (O) nên BY vuông góc OB tại B
hay AB vuông góc BQ tại B 
xét tam giác QIB vuông tại B ( vì QB vuông góc IB tại B)
suy ra  3 điểm Q,B,I cùng thuộc 1 đường tròn đk IQ (2)
từ (1) và (2) suy ra 4 điểm H,Q,B,I cùng thuộc 1 đường tròn
đk IQ hay tứ giác HQBI nội tiếp
suy ra góc HIQ=góc QBH ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HQ) (3)
ta cm được tứ giác MHNI nội tiếp đường tròn đk MN 
suy ra góc HMN=góc HIN ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN)
hay góc HIQ=góc HMN(4)
từ (3) và (4) suy ra góc QBH=góc HMN
xét tam giác AHB vuông tại H có
góc HAB+góc  HBA= 90 độ (5)
mà góc HBA+góc QBH= 90 độ ( vì BY là
tiếp tuyến của (O)  nên BY vuông góc OB hay 
góc QBO = 90 độ) (6)
từ (5) và (6) suy ra góc QBH=góc HAB ( 2 góc cùng
phụ với góc  HBA)
kết hợp (3) (4) (5) (6) ta có 2 góc HMN=góc HAB
mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên MN// AB

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?