xét (O) CÓ

góc BDC, góc BEC là góc nội tiếp

chắn nửa (O)

suy ra góc BDC= 90 độ

góc BEC= 90 độ

nên CD vuông góc AB  tại D

BE vuông góc AC tại E

xét tam giác ADH vuông tại D

suy ra 3 điểm A,D,H cùng thuộc 1 đtr

đk AH (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

suy ra 3 điểm A,E,H cùng thuộc 1 đtr đk AH(2)

từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A,D,H,E cùng thuộc 1 đtr

đk AH hay tứ giác ADHE nội tiếp

xét tam giác AEB (góc AEB=90 độ) và tam giác 

ADC ( góc ADC= 90 độ) có

góc AEB= góc ADC ( =90 độ)

góc BAC chung

suy ra tam giác AEB đồng dạng tam giác ADC (gg)

suy ra AE/AD=AB/AC

suy ra AE.AC=AB.AD

xét tam giác ABC có 2 đường cao CD và BE cắt tại H

nên H là trực tâm của tg ABC 

suy ra AF vuông góc  BC tại F

cmtt ta được tứ giác BDHF nội tiếp

suy ra góc HBF= góc HDF ( 2 góc nội tiếp

cùng chắn cung HF) (3)

cm đc  tứ giác BDEC nội tiếp

mà góc EDC=góc EBC ( 2 góc nội tiếp cùng

chắn cung EC)  (4)

từ (3) và (4) suy ra góc EDC=góc HDF nên DC

là tia phân giác góc EDF

cmtt ta có tứ giác HFCE nội tiếp

suy ra góc HEF=góc HCF ( 2 góc nt cùng

chắn cung HF)

lại có góc DEB=góc DCB ( 2 góc nội tiếp cùng

chắn cung DB)

suy ra góc DEB= góc HEF nên EB là tia phân giác 

góc DEF 

xét tam giác DEF có 2 đường phân giác DC và EB cắt

tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF