Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = AC. Kẻ CE ⊥ AB (E ∈ AB), kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC). Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:

* a) BD = CE

* b) OE = OD và OB = OC

* c) OA là tia phân giác của góc BAC

Lời giải:

a) Chứng minh BD = CE:

* Xét tam giác ABD và tam giác ACE, ta có:

* Góc A chung

* AB = AC (giả thiết)

* Góc ADB = góc AEC = 90°

* Suy ra tam giác ABD = tam giác ACE (cạnh huyền - góc nhọn)

* Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh OE = OD và OB = OC:

* Xét tam giác OBE và tam giác OCD, ta có:

* Góc BOE = góc COD (hai góc đối đỉnh)

* BD = CE (chứng minh trên)

* Góc OBE = góc OCD = 90°

* Suy ra tam giác OBE = tam giác OCD (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

* Suy ra OE = OD (hai cạnh tương ứng)

* Xét tam giác BOC, ta có:

* OE = OD (chứng minh trên)

* Suy ra tam giác BOC cân tại O

* Suy ra OB = OC

c) Chứng minh OA là tia phân giác của góc BAC:

* Xét tam giác AOB và tam giác AOC, ta có:

* AB = AC (giả thiết)

* OB = OC (chứng minh trên)

* OA chung

* Suy ra tam giác AOB = tam giác AOC (c.c.c)

* Suy ra góc BAO = góc CAO (hai góc tương ứng)

* Suy ra OA là tia phân giác của góc BAC