Giải thích các bước giải:

Bài 4:

Vì $(2, 1, 0)\in(d_1),(d_2)$

$\to (d_1), (d_2)$ đồng phẳng

Ta có:

$\vec{u_1}=(-1, 1, 1)$ là vector chỉ phương của $(d_2)$

$\vec{u_2}=(1, 1, -3)$ là vector chỉ phương của $(d_1)$

$\to [\vec{u_1}, \vec{u_2}]=(-4, -2, -2)$//(2, 1, 1)$

Ta có:

$A\in (d_1)\to A(-a+2, a+1, a)$

$B\in (d_2)\to B(b+2, b+1, -3b)$

Ta có:

$\vec{AB}=(b+a, b-a, -3b-a)$

Vì $(\Delta)\in (d_1, d_2)$
$\to (b+a)\cdot 2+(b-a)\cdot 1+(-3b-a)\cdot 1=0$

$\to AB=\sqrt{(-a+2-b-2)^2+(a+1-b-1)^2+(a+3b)^2}$

$\to AB=\sqrt{3a^2+6ab+11b^2}=\sqrt{3(a+b)^2+8b^2}\ge 0$

Câu 5:

1.Vì $(Q)//(P)\to (Q):2x-3y+z+a=0$

Mà $M(1, 0,1)\in (Q)$

$\to 2\cdot 1-3\cdot 0+1+a=0$

$\to a=-3$

$\to (Q):2x-3y+z-3=0$

$\to \vec{n}=(2, -3, 1)$ là vector pháp tuyến của $(Q)$

$\to 2+(-3)+1=0$

2.Gọi phần trên của parabol có phương trình là $y=ax^2+2$

Từ đề bài $\to (2.5, 1.5)\in (P)$

$\to 1.5=a\cdot 2.5^2+2$

$\to a=-0.08$

$\to y=-0.08x^2+2$

Diện tích cổng là:

$$S=2\int^{1.5}_0-0.08x^2+2dx=2\cdot 2.91=5.82(m^2)$$

Ông An phải trả số tiền là:

$$5.82\cdot 700000=4074000(đồng)$$

Câu 6:

Gọi $(\Delta)\cap (P)$ tại $M(2t-1, t, 3t-2)$

Gọi $(a,b,c)$ là vector chỉ phương của $(\Delta)$

Vì $(\Delta)\perp (d), (\Delta)\in (P)$

$\to \begin{cases}2a+b+3c=0\\ a+2b+c=0\end{cases}$

$\to a=-\dfrac{5c}{3},\:b=\dfrac{c}{3}$

Lấy $c=3$

$\to a=-5, b=1$

$\to (-5, 1,3)$ là vector chỉ phương của $(\Delta)$

Ta có: $M(2t-1, t, 3t-2)\in (P)$

$\to (2t-1)+2t+(3t-2)-4=0$

$\to t=1$

$\to M(1, 1, 1)$

$\to (\Delta):\dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-1}3$