Cho tam giác ABC, chứng minh : sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

Lời giải:

Theo tính chất tổng ba góc trong một tam giác ta có

$A+B+C = \pi\Rightarrow  C=\pi - (A+B)$ 

$\Rightarrow \sin(A+B) = \sin C , \cos(A+B) = -\cos C$

Ta có:

$\sin2A+\sin2B+\sin2C$

$      =2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$

$      =2\sin C \cos(A-B)+2\sin C\cos C$

$      =2\sin C \left[{ \cos(A-B) + \cos C}\right]$

$      =2\sin C\left [{ \cos (A-B) - \cos(A+B)}\right]$

$      =2\sin C.2\sin A\sin B$

$      =4\sin A\sin B\sin C$

Giải thích:

Sử dụng:

Công thức biến đổi tổng thành tích:

$\sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2$

$\cos a-\cos b=-2\sin\dfrac{a+b}2\sin\dfrac{a-b}2$

Công thức nhân đôi:

$\sin 2a=2\sin a\cos a$