2. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H. Chứng minh:

Tứ giác BIHL là các tứ giác nội tiếp.

AKL = IKC.

H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.

xét tam giác ABC có 3 đường cao

AI,BK,CL cắt nhau tại H 

nên có AI vuông góc BC tại I 

BK vuông góc AC tại  K 

CL vuông góc AB tại L 

xét tam giác BLH vuông tại L

suy ra 3 điểm B,L,H cùng thuộc 

1 đường tròn đk BH ( 1)

xét tam giác HIB vuông tại I 

suy ra 3 điểm B,I,H cùng thuộc 1 đtr

đk BH (2)

từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B,L,H,I cùng thuộc

1 đtr đk BH

hay tứ giác BIHL nội tiếp

cmtt ta đc tứ giác IHKC nội tiếp đtr đk HC

nên ta có góc IHC =góc IKC ( 2 góc nội tiếp cùng

chắn cung IC ) (3)

cmtt ta đc tứ giác AKHL nội tiếp đtr đk AH 

nên ta có góc LHA= góc AKL ( 2 góc nt cùng chắn

cung AL ) (4)

mà góc IHC=góc LHA (2 góc đối đỉnh)(5)

từ (3) (4) (5) suy ra góc IKC=góc AKL

c) cmtt ta đc tứ giác BLKC nội tiếp

suy ra góc KLC=góc KBC ( 2 góc nt cùng chắn cung

KC) (6)

mà cmtt ta đc tứ giác ALIC nội tiếp đường tròn đk AC

suy ra góc  ILC=góc CAI ( 2 góc nt cùng chắn cung  IC)(7)

mà cm đc tg  BKC đồng dạng tg AIC ( gg)

nên suy ra góc KBC=góc  IAC (8)

từ (6) (7) (8) suy ra góc KLC=góc  CLI nên LC là

tia phân giác góc  KLI hay LH là tia phân giác góc KLI

 cmtt ta đc  KH là tia phân giác góc LKI 

xét tam giác LKI có 2 đường p/g  LH và KH cắt tại H 

nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác LKI