giải giúp mình câu này chi tiết vào nhé

Đáp án: $27$

Giải thích các bước giải:

Vì $D$ cách đều $ABC$

$\to DA=DB=DC$

$\to \begin{cases}DA=DB\\DB=DC\end{cases}$

$\to \begin{cases}DA^2=DB^2\\DB^2=DC^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}(a-30)^2+(b-20)^2+c^2=(a-70)^2+(b-50)^2+(c-40)^2\\(a-70)^2+(b-50)^2+(c-40)^2=(a-50)^2+(b-80)^2+(c-70)^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}(a-30)^2+(b-20)^2+c^2-(a-70)^2-(b-50)^2-(c-40)^2=0\\(a-70)^2+(b-50)^2+(c-40)^2-(a-50)^2-(b-80)^2-(c-70)^2=0\end{cases}$

$\to \begin{cases}80a+60b+80c-7700=0\\-40a+60b+60c-4800=0 \end{cases}$

$\to a=\dfrac{-c+145}{6},\:b=\dfrac{5\left(-2c+173\right)}{9}$

Lại có:
$AD^2=(a-30)^2+(b-20)^2+c^2$

$\to AD^2=(\dfrac{-c+145}{6}-30)^2+(\dfrac{5\left(-2c+173\right)}{9}-20)^2+c^2$

$\to AD^2=\dfrac{733c^2-54170c+1887925}{324}$

$\to AD^2=\dfrac{733}{324}\left(c-\dfrac{27085}{733}\right)^2+\dfrac{650251800}{237492}\ge \dfrac{650251800}{237492}$

$\to AD\ge \sqrt{\dfrac{650251800}{237492}}$

Dấu = xảy ra khi $c-\dfrac{27085}{733}=0$

$\to c=\dfrac{27085}{733}$

Ta có:

$T= \dfrac{-c+145}{6}+\dfrac{5\left(-2c+173\right)}{9}+c=\dfrac{-5c+2165}{18}=\dfrac{-5\cdot \dfrac{27085}{733}+2165}{18}\approx 27$