1. Ta có: $x(x^2+2x+4)=y^3-3$.

$x^3+2x^2+4x=y^3-3$.x

$=> 2x^2+4x+3=y^3-x^3 (1) $.

Lại có: $2x^2+4x+3=2(x^2+2x+1)+1.$
= $2(x+1)^2>0 \forall x $.

$(1) => y^3-x^3$. (2).

Lại có: $(x+2)^3-y^3$ = $(x^3+6x^2+12x+8)-(x^3+2x^2+4x+3).$ 
$= x^3+6x^2+12x+8-x^3-2x^2-4x-3.$
$= 4x^2+8x+5.$ 
$= 4(x^2+2x+1)+1> 0 \forall x $.

$=> (x+2)^3-y^3>0$. (3).

Từ (2), (3) và x, y nguyên => $y^3=(x+1)^3$.

Thay vào (1) ta được: 

$2x^2+4x+3=(x+1)^3-x^3.$

$2x^2+4x+3=x^3+3x^2+3x+1-x^3.$

$=> 2x^2+4x+3-3x^2-3x-1=0.$

 $-x^2+x+2=0.$
$-x(x-2)-(x-2)=0.$

$(-x-1)(x-2)=0.$

=> $\left[\begin{matrix} -x-1=0\\ x-2=0\end{matrix}\right.$ 

=> $\left[\begin{matrix} x=-1\\ x=2\end{matrix}\right.$

Với x = -1 => $y^3=(-1+1)^3 = 0^3 = 0. => y = 0.$

Với x = 2 => $y^3=(2+1)^3 = 3^3 = 27 => y = 3.$

Vậy $(x; y)\in{(-1; 0); (2; 3)}$. 

(Trong bài toán này, ta sử dụng phương pháp kẹp giữa).

_Chúc bạn học tốt, 08/03 vui vẻ nhé_

user0034, luv q.