Đáp án: 
a.$4a$

b.$\dfrac{2a\sqrt3}3$

Giải thích các bước giải:

a.Gọi $AO\cap BC=D$

Vì $\Delta ABC$ đều

$\to O$ đồng thời là trực tâm, trọng tâm, giao ba đường phân giác $\Delta ABC$

Ta có: $OD\perp BC$

$\to OD$ là phân giác $\widehat{BOC}$

$\to \widehat{BOD}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{BAC}=60^o$

Ta có:

$\sin\widehat{BOD}=\dfrac{BD}{OB}$

$\to \sin60^o=\dfrac{BD}{\dfrac{4a\sqrt3}3}$

$\to BD=\dfrac{4a\sqrt3}3\sin60^o$

$\to BD=2a$

$\to BC=2BD=4a$

b.Ta có: $DO=\dfrac12OA=\dfrac{2a\sqrt3}3$ vì $O$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to$Bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $\dfrac{2a\sqrt3}3$