___________

`sum (ab)/(a^2 + b^2) = sum (abc)/((a^2 + b^2).c) = abc sum 1/(a^2c + b^2c) >= (9abc)/(a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + a^2b + c^2b)`

`= (9abc)/(ab(a + b) + bc(b + c)+ ca(c + a)) = (9abc)/(ab + bc + ca - 3abc)`

`-> sum (ab)/(a^2 + b^2) >= (9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc)`

Do đó ta chỉ ra `:  (9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc) + 1/4 (1/a + 1/b + 1/c) >= (15)/4`

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương : 

  `(9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc)  + (ab + bc + ca)/(4abc) >= (15)/4`

`<=>(9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc)  + (ab + bc + ca)/(4abc)- 3/4 >= 3`

`<=> (9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc)  + (ab + bc +ca - 3abc)/(4abc)>= 3`

Ta có ` (9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc)  + (ab + bc +ca - 3abc)/(4abc) `

`>= 2 sqrt((9abc)/(ab + bc+ ca - 3abc) . (ab + bc +ca - 3abc)/(4abc) ) >= 3`

Hoàn tất chứng minh.