Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 `a)`

Xét `ΔHFB ᔕ ΔHEC (g-g)`

`=> (HF)/(HB)=(HE)/(HC)`

`=> ΔHEF ᔕ Δ HBC (c-g-c)`

Xét `ΔAEB ᔕ ΔAFC (g-g)`

`=> (AE)/(AF) = (AB)/(AC)`

`=> ΔAEF ᔕ ΔABC (c-g-c)`

`=> hat(AFE) = hat(ACB)` Mà `hat(AFE) = hat(NFB)` (đối đỉnh)

`=> hat(NFB) = hat(ACB)`

Xét `ΔFNB ᔕ ΔCNE (g-g)`

`=> NF * NE = NB * NC`

`b)`

Xét `ΔHCD ᔕ ΔBCF (g-g)`

`=> CH * CF = CD * BC (1)`

Xét `ΔHBD ᔕ ΔCBE (g-g)`

`=> BH * BE = BD * BC (2)`

Từ `(1),(2) => BH * BE + CH * CF = BC^2`

`c)`

`ΔAEH` vuông tại `E` có `EI` là đường trung tuyến

`=> EI = (AH)/2 = AI = HI`

`=> ΔAIE` cân tại `I => hat(A_1) = hat(E_1)`

`ΔBEC` vuông tại `E` có `EM` là đường trung tuyến

`=> EM = (BC)/2 = MB = MC`

`=> ΔEMC` cân tại `M => hat(E_2) = hat(ACD)`

Mà `hat(A_1) + hat(ACD) = 90^o` (H là trực tâm `ΔABC`)

`=> hat(E_1) + hat(E_2) = 90^o`

`=> hat(IEM) = 180^o - (hat(E_1) + hat(E_2)) = 90^o (3)`

Mặt khác: `FM = EM` (đường trung tuyến tam giác vuông)

`=> IM` là đường trung trực `EF`

`=> hat(IPE) = 90^o (4)`

Từ `(3),(4)` và `hat(EIM)` chung `=> ΔIEP ᔕ IME (g-g)`

`=> IE^2 = IP *IM`

Xét `ΔIQP ᔕ ΔIMD (g-g)`

`=> IQ * ID = IP * IM`

Mà `IP *IM = IE^2;IE = IF` (trung trực)

`=> IQ*ID = IF^2 => (IF)/(IQ) = (ID)/(IF)`

`=> ΔIFQ ᔕ ΔIDF (c-g-c)`

`=> hat(IQF) = hat(IFD)`