Trong không gian Oxyz, cho điểm K (1; −3; 0) và mặt cầu

(S): (x - 2)^2+(y+6)^2+z^2= 50 có tâm là I. Xét các điểm M thuộc (S) sao cho góc KMI lớn nhất khi đó giá trị MK = 2√10

Nhận định này đúng hay sai ạ mình cần lời giải

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$(S): (x - 2)^2 + (y + 6)^2 + z^2 = 50$ có tâm $I$

$\Rightarrow I(2; -6; 0)$

$\Rightarrow KI = \sqrt{10}$

Gọi $M$ là một điểm thuộc $(S)$

$\Rightarrow MI = R = 5\sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosine, ta có:

$\cos \widehat{KMI} = \dfrac{MK^2 + MI^2 - KI^2}{2MK . MI}$

$= \dfrac{MK^2 + R^2 - 10}{2MK . 5\sqrt{2}}$

$= \dfrac{MK^2 + 40}{10\sqrt{2}MK} \ge \dfrac{2\sqrt{40}MK}{10\sqrt{2}MK}$

$= \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \widehat{KMI} \ge \cos^{-1} \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow MK = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$\Rightarrow$ Đúng