Để tiện cho việc đo đạc một chi tiết sản phẩm kỹ thuật, kỹ sư tạo một mô hình lăng trụ ABC.A' B'C' với AB = 4 cm, AC = 6 cm, AA' = 5 cm, A' AB = 60°, A'AC = 30°, BAC = 45°. Do yêu cầu kỹ thuật, kỹ sư cần tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh AB đến trung điểm N của cạnh A'C", khoảng cách đó bằng bao nhiêu centimet? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

coi ảnh giúp mk ạ

Đáp án: $MN\approx 6.4$

Giải thích các bước giải:

Đặt hình vào hệ trục tọa độ $Oxyz$

Với tia $AB $ trùng $Ax, A$ là tâm hệ trục

Kẻ $CH\perp AB$

$\to \Delta AHC$ vuông cân tại $H$ vì $\hat A=45^o$

 $\to AH=HC=\dfrac{AC}{\sqrt2}=3\sqrt2$

$\to H(3\sqrt2, 0, 0)$

$\to C(3\sqrt2,3\sqrt2, 0)$

Đặt $A'(x,y,z)$

$\to \vec{AA'}=(x, y,z)$

      $\vec{AB}=(4, 0,0)$

      $\vec{AC}=(3\sqrt2, 3\sqrt2,0)$

Ta có:

$\widehat{A'AB}=60^o, \widehat{A'AC}=30^o, AA'=5$

$\to \begin{cases}\cos60^o=\dfrac{|4x|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot\sqrt{4^2+0^2+0^2} }\\ \cos30^o=\dfrac{|3\sqrt2x+3\sqrt2y|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot \sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2+0^2}}\\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=5\end{cases}$

$\to \begin{cases}\dfrac12=\dfrac{|4x|}{5\cdot4}\\ \dfrac{\sqrt3}2 =\dfrac{|3\sqrt2x+3\sqrt2y|}{5\cdot6 }\\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=5\end{cases}$

$\to \begin{cases}\dfrac12=\dfrac{|x|}{5}\\ \dfrac{\sqrt3}2 =\dfrac{|3\sqrt2x+3\sqrt2y|}{5\cdot6 }\\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=5\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=\pm\dfrac52 \\ \dfrac{\sqrt3}2 =\dfrac{|3\sqrt2\cdot \dfrac52+3\sqrt2y|}{5\cdot6 }\\ \sqrt{\dfrac{25}4+y^2+z^2}=5\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=\pm\dfrac52 \\ y=\dfrac{-5(1\pm\sqrt6)}2\\ \sqrt{\dfrac{25}4+\dfrac{25\left(7-2\sqrt{6}\right)}{4}+z^2}=5\end{cases}$

$\to \begin{cases}x=\pm\dfrac52 \\ y=\dfrac{-5(1\pm\sqrt6)}2\\ z=\pm\dfrac{5\sqrt{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{2}}}\end{cases}$

$\to A'(\dfrac52, \dfrac{-5(1-\sqrt6)}2, \dfrac{5\sqrt{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{2}}})$

Ta có:

$\vec{A'C'}=\vec{AC}=(3\sqrt2, 3\sqrt2, 0)$

$\to C'=(3\sqrt2+\dfrac52, 3\sqrt2+ \dfrac{-5(1-\sqrt6)}2, \dfrac{5\sqrt{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{2}}})$

$\to N(\dfrac{3\sqrt{2}+5}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}-5+5\sqrt{6}}{2}, \dfrac{5\sqrt{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2\sqrt{\sqrt{2}}})$

$\to MN=\sqrt{(\dfrac{3\sqrt{2}+5}{2}-2)^2+ (\dfrac{3\sqrt{2}-5+5\sqrt{6}}{2}-0)^2+( \dfrac{5\sqrt{-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2\sqrt{\sqrt{2}}}-0)^2}$

$\to MN\approx 6.4$